Болтуны и Молчуны: Задача для Факультатива

Содержимое статьи:

• Дано:
• Задача:
• Доказательство:
• Случай 1: x - чётное число
• Случай 2: x - нечётное число
• Заключение:

Дано:

• В классе есть ученики-болтуны и ученики-молчуны.
• Каждый болтун дружит как минимум с одним молчуном.
• Болтун молчит, если в кабинете нечётное число его друзей-молчунов.
  

  Задача:

  Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

  Доказательство:

  Пусть x - число болтунов в классе. Тогда, согласно условию, каждый болтун дружит с как минимум одним молчуном, поэтому всего молчунов в классе должно быть не менее x.
  Обозначим количество молчунов буквой y. Тогда, по условию, y >= x.

  Случай 1: x - чётное число

  Если x - чётное число, то можно пригласить на факультатив x/2 болтунов. Так как y >= x, то y - x/2 >= x/2. Таким образом, для каждого приглашённого болтуна будет нечётное число друзей-молчунов в классе, то есть все болтуны будут молчать.

  Случай 2: x - нечётное число

  Если x - нечётное число, то можно пригласить на факультатив (x+1)/2 болтунов. Так как y >= x, то y - (x+1)/2 >= (x-1)/2. Таким образом, для каждого приглашённого болтуна будет нечётное число друзей-молчунов в классе, за исключением одного болтуна, у которого будет чётное число друзей. Однако, так как в классе всего x болтунов, то приглашённый болтун с чётным числом друзей не может иметь друзей среди приглашённых болтунов. Следовательно, все болтуны на факультативе будут молчать.

  Заключение:

  В обоих случаях учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса, обеспечив молчание всех присутствующих болтунов.