Для того чтобы найти ранг матрицы и указать базисный минор, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк. Для этого выполним следующие операции:
   • Умножим первую строку на 2 и прибавим ее ко второй строке
   • Умножим первую строку на 1/2 и прибавим ее ко третьей строке
   • Умножим первую строку на -4 и прибавим ее к четвертой строке

Получим следующую матрицу: | 2 -1 4 7 | | 0 0 8 -6 | | 1 -1 6 1 | | 0 1 -12 -12 |

2. Теперь приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду, продолжая использовать элементарные преобразования строк. Для этого выполним следующие операции:
   • Поменяем местами вторую и третью строки
   • Умножим вторую строку на 1/8
   • Прибавим вторую строку к четвертой строке

Получим следующую матрицу: | 2 -1 4 7 | | 0 1 -1 -3/4 | | 1 -1 6 1 | | 0 0 0 0 |

3. Теперь определим ранг матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в улучшенном ступенчатом виде, то есть ранг данной матрицы равен 3.
4. Для определения базисного минора найдем определитель матрицы, образованной из первых 3 строк и первых 3 столбцов исходной матрицы. Получим следующую матрицу: | 2 -1 4 | | 0 1 -1 | | 1 -1 6 |

Определитель этой матрицы равен 2(16 - (-1)(-1)) - (-1)(06 - 1(-1)) + 4(0(-1) - 1*1) = 12 + 1 + 4 = 17.

Таким образом, базисный минор равен 17.