Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1-ый курс.

Для данного определителя необходимо найти миноры элементов аi1, а4j и алгебраические дополнения элементов а13, а23.

1. Нахождение миноров:
   • Минор элемента аi1: вычеркнем первую строку и первый столбец, получим матрицу: |6 4 5| |-3 1 0| |2 -6 9| Вычислим определитель этой матрицы: 6(19 - 0(-6)) - 4(-39 - 02) + 5(-3(-6) - 12) = 6(9) - 4(-27) + 5(-16) = 54 + 108 - 80 = 82.

• Минор элемента а4j: вычеркнем четвертую строку и j-ый столбец, получим матрицу: |6 4 -7| |-3 1 2| |2 -6 3| Вычислим определитель этой матрицы: 6(13 - 2(-6)) - 4(-33 - 22) + (-7)(-3(-6) - 12) = 6(3 + 12) - 4(-9 - 4) + 7(-18 - 2) = 90 + 52 + 140 = 282.

2. Нахождение алгебраических дополнений:
   • Алгебраическое дополнение элемента а13: (-1)^(1+3) * 82 = -82.
   • Алгебраическое дополнение элемента а23: (-1)^(2+3) * 282 = 282.
3. Вычисление определителя det A: а) Разложение по элементам i-ой строки: det A = 6(-1)^(1+1) 82 + 4(-1)^(1+2) 282 + 5(-1)^(1+3) (-82) = 682 - 4282 - 582 = 492 - 1128 - 410 = -1046. б) Разложение по элементам j-го столбца: det A = 6(-1)^(1+1) 82 + (-3)(-1)^(2+2) 282 + 2(-1)^(3+3) (-82) + 4(-1)^(4+4) (-410) = 682 + 3282 + 282 + 4410 = 492 + 846 + 164 + 1640 = 3142. в) Получение нулей в произвольной строке или столбце: Предварительно преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке были нули: |6 4 5 -7| |-3 1 0 2| |2 -6 9 3| |4 5 -5 2| Вычислим определитель этой матрицы, используя разложение по первой строке: det A = 6(-1)^(1+1) det (1 0 2 | -6 9 3 | 5 -5 2) = 6(1(92 - 3(-5)) - 0(-62 - 35) + 2(-6(-5) - 95)) = 6(18 + 15 + 90) = 6*123 = 738.

Таким образом, определитель матрицы A равен -1046, 3142 и 738 при разложении по элементам i-ой строки, j-го столбца и получении нулей в произвольной строке соответственно.