Решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Содержимое статьи:

(1+x^2)dy-(xy+x)dx=0

где y - зависимая переменная, а x - независимая переменная.
2. Разделение переменных Для разделения переменных перенесем все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую:

(1+x^2)dy = (xy+x)dx

Разделим обе части на коэффициенты при y и x:

dy/(xy+x) = dx/(1+x^2)

3. Интегрирование Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения:

∫ dy/(xy+x) = ∫ dx/(1+x^2)

Интеграл левой части равен ln|xy+x| + C1, где C1 - константа интегрирования.
Интеграл правой части равен arctan(x) + C2, где C2 - константа интегрирования.
4. Решение Объединяя результаты интегрирования, получаем общее решение дифференциального уравнения:

ln|xy+x| + C1 = arctan(x) + C2

Приведем уравнение к более удобному виду:

|xy+x| = e^(arctan(x)+C)

Поскольку экспонента всегда положительна, можем убрать абсолютные значения:

xy+x = Ce^(arctan(x))

5. Начальное условие Используя начальное условие y=1 при x=√3, получаем:

√3 + 1 = C e^(arctan(√3))

Разрешаем уравнение относительно C:

C = (√3 + 1) / e^(arctan(√3))

Подставляя значение C в общее решение, получаем частное решение дифференциального уравнения:

xy+x = ((√3 + 1) / e^(arctan(√3))) e^(arctan(x))

xy+x = √3 + 1